已知关于x的方程x^2+mx-n=0没有实数根,求证m+n<1
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/16 11:37:08
已知关于x的方程x^2+mx-n=0没有实数根,求证m+n<1
因为所给的方程无实根
所以b^2-4ac<0即m^2+4n<0
所以有n<(-m^2/4)
所以有m+n<m-(m^2/4)
现在只要求m-(m^2/4)的最大值即可
令f(m)=m-(m^2/4)=(-1/4)(m-2)^2+1
可知f(m)的最大值是1
所以m+n<m-(m^2/4)<1 []
判别式=m^2+4n<0
所以n<-m^2/4
所以m+n<m-m^2/4=-m^2/4+m-1+1 =-(m/2-1)^2+1<=1
所以m+n<1
没有实数根说明判别式小于零,即
Delta=m^2+4n<0
thus
n<-m^2/4
thus
m+n<-m^2/4+m=-1/4(m-2)^2+1<1
令f(x)=x^2+mx-n
因为方程x^2+mx-n=0没有实数根
所以对于任何x都有f(x)>0 (f(x)的开口向上,与x轴无交点)
得到
f(-1)=1-m-n>0
所以m+n<1
求△